Matematika

Druhy čísel N, Z, Q, R, C

Přirozená čísla N

Jsou to celá kladná čísla.

Jde o přirozené počítání, které umí i inteligentní zvířata.

Celá čísla Z

Celá čísla se skládají z přirozených čísel (1, 2, 3, ...), nuly (0) a záporných celých čísel (-1, -2, -3, ...)

Celá čísla již souvisí s civilizací, resp. s obchodem. Od určité chvíle si lidé uvědomili, že potřebují zaznamenat nejenom co mají, ale také co dluží.

Záporná čísla byla objevena indickými matematiky okolo roku 600 n. l. a krátce nato znovuobjevena v Číně.

Největším vynálezem celých čísel bylo číslo 0: jako první ho zřejmě znali středoameričtí Indiáni už kolem přelomu letopočtu. Do Evropy se znalost nuly rozšířila až ve 12. století.

Racionální čísla Q

Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, tedy podíl dvou celých čísel, většinou zapsaný ve tvaru a/b, kde b není nula. Název pochází z latinského ratio – poměr.

Racionální čísla jsou starší než čísla záporná, protože lidé velice brzy potřebovali polovinu, třetinu apod. Zlomky byly používány už Egypťany kolem roku 1000 př. n. l.

Iracionální čísla

Iracionální je každé reálné číslo, které není racionální, tedy takové číslo, které nelze vyjádřit jako zlomek, tedy podíl dvou celých čísel a/b, kde a a b jsou celá čísla a b není nula. Iracionální čísla mají neukončený a neperiodický desetinný rozvoj.

Asi nejstarším a nejjednodušším příkladem iracionálního čísla je √2. Objev je připisován matematikovi Pythagorovy školy jménem Hippasos, který dokázal, že úhlopříčka jednotkového čtverce nemůže být vyjádřena racionálním číslem. Podle pověsti byl Hippasus svržen z lodi do moře a utopen, aby tento objev zůstal utajen.

Iracionální jsou všechny slavné matematické konstanty π, Ф a e

Reálná čísla

Reálná čísla jsou taková čísla, kterým lze jednoznačně přiřadit body nekonečné přímky (číselné osy) tak, aby tato čísla popisovala „vzdálenost“ od nějakého vybraného bodu (nuly) na takové přímce.

Komplexní čísla

Komplexní čísla vymysleli matematici Scipione del Ferro a Niccolo Fontana Tartaglia kolem roku 1530. Matematiky obecně zlobilo, že některé polynomiální rovnice nemají v oboru reálných čísel žádné řešení. Například kvadratická rovnice x² + 1 = 0 nemá řešení, protože její diskriminant -4 je záporný.

Vymysleli tedy tzv. imaginární jednotku, definovanou jako

i² = -1

(neboli i je odmocnina z -1)

Rovnice x² + 1 = 0 pak má dvě řešení ± i.

Vypadá to celkem jednoduše, ale je to složitější - každé komplexní číslo má totiž dvě složky, reálnou a imaginární. Zapisuje se

z = a + i * b

kde a je část reálná a b je část imaginární.

Sečíst a odečíst dvě komplexní čísla je docela jednoduché:

z₁ = a + i * b     z₂ = c + i * d

z₁ + z₂ = (a + c) + i * (b + d)

z₁ - z₂ = (a - c) + i * (b - d)

Horší je to s násobením:

z₁ * z₂ = a * c - b * d + i * (a * d + b * c)

A ještě horší s dělením:

z₁ / z₂ = (a * c + b * d) / (c² + d²) + i * (b * c - a * d) / (c² + d²)

Spočetná a nespočetná množina

Množina čísel je spočetná, pokud ji můžeme tzv. „očíslovat“, neboli každému číslu přiřadit index z množiny přirozených čísel 1, 2, 3, ...

Spočetné jsou množiny přirozených, celých a racionálních čísel. Zdá se sice, že celých čísel je 2x tolik než přirozených, ale obojích je nekonečně. A protože jsou obě množiny spočetné, je to „stejně velké nekonečno“.

Naproti tomu množiny iracionálních a reálných čísel jsou nespočetné, nelze je indexovat přirozenými čísly, protože jich je mnohem víc. Jsou to nespočetné množiny.

Důkaz iracionality čísla √2

Provedeme důkaz sporem:

Předpokládejme, že √2 je racionální číslo, tedy lze ho vyjádřit jako podíl dvou nesoudělných čísel a a b

√2 = a / b

Umocněním obou stran dostaneme:

a² / b² = 2

a² = 2 * b²     z toho vidíme, že a je sudé číslo.

Je-li číslo a sudé, můžeme ho vyjádřit jako a = 2 * r, kde r je nějaké přirozené číslo

Dosadíme-li hodnotu 2 * r do původního vztahu, dostaneme 4 * r² = 2 * b², neboli 2 * r² = b²

Z toho ovšem plyne, že i číslo b je sudé.

Obě čísla a i b jsou tedy sudá a tedy dělitelná 2. To je však v rozporu s předpokladem, že čísla a a b jsou nesoudělná.

Původní předpoklad, že √2 je racionální číslo vedl ke sporu, musí tedy platit tvrzení opačné, že √2 je číslo iracionální.